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Loi Binomiale - Les Carnets Nombre d'abonnés0 abonnés

Les parchemins des Vétérans -> Parchemins divers
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Certains joueurs jouent simplement, ils consomment un jeu comme on consomme des chips. D'autres personnes jouent sérieusement, car ils aiment jouer comme cela, cela leur permet d'être efficace et de ne pas perdre trop de temps pour une même activité, ou parce qu'ils aiment être sûrs de ce qu'ils font. Dans un jeu qui favorise la qualité par rapport à la quantité de jeu (Arena), ce sont les joueurs sérieux qui gagnent, par contre dans un free-to-play-monster-bashing, les joueurs sérieux auront peu d'endroits où appliquer leur intelligence et où faire la différence avec d'autres joueurs.

Si vous aimez jouer sérieusement, ce carnet est fait pour vous. Cela va requérir toute votre attention (coupez donc la musique que vous écoutez), si ce carnet est gros c'est pour vous faciliter la compréhension au maximum. Réjouissez-vous lorsque vous voyez des pavés. Certes c'est mathématique et... original, mais une personne qui ne connaît pas la loi Binomiale ne peut pas se considérer comme étant un très bon joueur, étant donné qu'elle est utile quotidiennement ou hebdomadairement dans la grande majorité des MMORPG.
(Vous avez essayé de faire des croisements de dragodindes dans DOFUS ?)

Avant de continuer, essayez de comprendre ce qui va suivre.


Issues d'expériences consécutives


1ère expérience : Un tofu jaune se cache dans un des 4 seaux.
Si je choisis de retourner un seau au hasard.
J'ai 25% de chance de le trouver.
J'ai 75% de chance de ne pas le trouver.
Ce sont deux issues. Je le trouve ou je ne le trouve pas. On constate que 25%+75%=1
Quand on fait la somme des probabilités de toutes les issues possibles, le résultat est toujours de 1.


2ème expérience : Un autre tofu (bleu) se cache dans un des 4 seaux bleus.
Si je choisis de retourner un seau au hasard.
J'ai 25% de chance de le trouver.
J'ai 75% de chance de ne pas le trouver.
C'est pareil, ce sont des expériences identiques et indépendantes.


Si on effectue les deux expériences à la suite, il y a 4 résultats possibles :
Je trouve le premier et second. J'ai 6,25% de chances. (25%x25%=0,25x0,25=0,125=12,5%)
Je trouve le premier, mais je ne trouve pas le second. 18,75% (25%x75%=0,25x0,75=0,1875=18,75%)
Je ne trouve pas le premier, mais le second. 18,75% (75%x25%=0,75x0,25=0,1875=18,75%)
Je ne trouve aucun tofu. 56,25% (75%x75%)
On constate que la somme des probas des issues est égale à 1. (100%)
La probabilité de trouver un tofu est de 37,5% (Somme de la seconde et troisième issue)


[image]La probabilité d'un chemin correspond au produit des probabilités pour chaque issue choisie. Expériences indépendantes donc la probabilité des issues d'une ne dépendent pas de l'autre.




Problématique


On peut continuer avec un 3e tofu, un 4e, un 5eme... mais calculer ce que l'on cherche devient de plus en plus compliqué. Si parmi 20 cachés je veux connaître la probabilité de trouver un unique tofu, je vais devoir faire la somme de 20 probabilités (je peux le trouver dans une des 20 expériences en considérant les autres ratées). Pire : si je veux en trouver exactement deux, il faut que je fasse la somme de 190 probabilités, car il y a 190 manières de trouver 2 tofus parmi 20. C'est un travail titanesque !

Mais il y a toujours une solution. ;-)



Étude de cas


Imaginons un disciple d'Enutrof chasseur de trésors. Il a décidé de monter au niveau maximum la compétence Bénédiction d'Enutrof, car être puissant en combat ne l'intéresse pas, tout ce qu'il veut c'est des trésors ! Alors, il fait des combats, des combats, mais après 20 combats il en a marre, Ecaflip n'est pas avec lui aujourd'hui. Le sort passif indique "5% de chance d'obtenir un objet bonus en fin de combat", mais ce qui intéresse l'Enutrof, c'est de connaître sa probabilité d'obtenir un cadeau au bout de X combats, car ce vieux n'aime pas perdre du temps pour rien. Il sait juste que plus il fait de combats, plus il a de chance de gagner au moins un cadeau.

Heureusement, il y a la Loi Binomiale. La loi binomiale est une loi mathématique (non, ne fuyez pas) qui donne la probabilité de réussir une expérience au bout de n tentatives où la probabilité de réussir cette expérience est de p. En gros, la probabilité que le dieu de l'Enutrof lui donne un cadeau au bout de n combats sachant qu'il a p=5% de chances d'en avoir un au bout de chaque combat. Cela peut aussi signifier la probabilité d'infliger l'état Fauché au bout de n frappes (non coup critique) ayant la probabilité p=10% de l'infliger.

En fait, cela peut s'appliquer pour tous les cas où on a la réalisation de plusieurs expériences identiques indépendantes. Les expériences essayer d'avoir un objet d'Enutrof à la fin d'un combat sont dit "indépendants", car le fait d'obtenir un cadeau ne change pas la probabilité d'obtenir un second au prochain combat.
Par opposition, faire un coup critique avec Fiole Infectée et appliquer l'Etat Gangrène ne sont pas identiques, car de probabilités de réussite différentes et ne sont pas indépendantes, car réussir un coup critique facilite l'application de Gangrène.

Donc, une loi binomiale prend deux paramètres :
Le nombre d'expériences : n
La probabilité de succès/réussite de l'expérience : p
Dans l'exemple du premier paragraphe, l'expérience est d'essayer d'avoir un cadeau à la fin d'un combat.
Dans ce cas, n=20 et p=5%=0,05.

[image]Si on pose X="Nombre de cadeaux reçus", on dit que X suit une loi Binomiale de paramètre n=20 et p=0,05.

C'est la notation mathématique que vous retrouverez souvent si vous avez de la chance de faire des probabilités et des statistiques dans vos études.




La loi binomiale



[image]

Donnée comme cela, la formule est incompréhensible. :p
Voyons chaque terme de la formule un par un.
P() : Signifie la probabilité de ce qui est à l'intérieur, sa valeur se situe entre 0 et 1.
X : C'est le nombre de cadeaux d'Enutrof reçus.
k : On définit ce nombre, si on souhaite recevoir k=1 ou k=2. k doit être un nombre entier positif ou nul et k doit être inférieur ou égal à n.
Donc P(X=k) correspond à la probabilité d'avoir k cadeaux d'Enutrof.
C'est ce que l'on cherche et on va la calculer en remplaçant les lettres de l'autre côté de l'égalité.
Attention, k doit être inférieur ou égal à n, car on ne peut pas avoir plus de cadeaux que de combats.
p : La probabilité de succès d'une expérience, c'est le second paramètre.
n : Le nombre de fois que l'expérience est tentée, le deuxième paramètre est k=20 ici.
Et q ? q est la probabilité d'échec, c'est à dire de ne pas avoir le cadeau après un combat. Comme après un combat on a soit le cadeau, soit on ne l'a pas, c'est équivalent à dire que p+q=1 donc que q=1-p. (Je soustrais par p des deux côtés de l'égalité.)

Et le dernier truc entre parenthèses ? C'est horrible, je ne peux même pas l'écrire avec mon clavier !
C'est le coefficient binomial, on le lit "k parmi n". Par exemple, 2 parmi 20 (k=2 et n=20) donne la valeur 190, car il y a 190 manières de choisir uniquement deux tofus parmi les 20 (Le 1er et le 2e, le 2e et le 3e, le 1er et le 3e, le 1er et le 4e...)
Choses importantes à savoir :
k=0 parmi n donne 1. Il y a une seule manière d'avoir aucun tofu : en avoir aucun.
k=1 parmi n donne n. S'il y a 20 tofus, je peux choisir de 20 manières un seul.
k=n parmi n donne 1. Le seul moyen d'avoir tous les tofus : tous les avoir.
Pour le reste des combinaisons ( 2 parmi 20, 4 parmi 50...) demandez à Google. Par exemple si vous tapez "2 parmi 20" il va vous donner 190. Vous pouvez aussi utiliser une calculatrice, mais la manière d’accéder à ce nombre dépend de la marque, de son modèle et c'est généralement impossible dans les calculatrices "Collège". Il y a également une formule vous permettant de calculer vous-même ce chiffre, mais elle ne fait pas l'objet de ce carnet.


Application

Comprendre facilite l'apprentissage, les initiatives personnelles et l'appréciation d'un cours.
Pour cela, appliquons la formule pour k=1.

[image]

Sur cette image, j'ai juste remplacé les lettres par leurs valeurs respectives, vous pouvez comparer avec la formule en haut. 0,95^19 correspond à 0,95x0,95x0,95x...x0,95. (On multiplie 19 "0,95" entre eux.)

La probabilité d'avoir un cadeau parmi les 20 tentatives :
Si on suppose que l'on obtienne le sésame à la première tentative, on le rate dans les 19 autres.
Donc cette probabilité est égale à 0,05x0,95^19. Mais il faut multiplier cette probabilité par 20.
Car il y a "1 parmi 20"=20 autres manières d'obtenir un seul cadeau. (Obtenu uniquement à la 2e, 3e, etc.)


En faisant le calcul : P(X=1)=0,05x(0,95^19)x20=0,377 (Note : 0,05^1=0,05 ; 0,05^0=1)
Donc l'Enutrof a 37,7% de chances d'obtenir exactement un cadeau au bout de 20 combats. YES
Calculons aussi pour P(X=0)=1x0,95^20x1=0,358
Par contre, il a aussi 35,8% de ne rien voir. ZUT!



Et si j'en veux "au moins 2" ?


On a calculé la probabilité d'avoir 0 ou 1 cadeau, mais pas de 2, de 3, de 4... ou de 20!
Or, l'Enutrof n'a pas le temps de calculer tout cela.

Ok, comme il y a 20 tentatives, on peut soit avoir 0,1, 2, 3, 4, ... , ou 20 cadeaux.
Donc P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+...+P(X=20)=1.
Donc si on veut un nombre de cadeaux supérieur ou égal à 2 :
P(supérieur ou égal à 2)=P(X=2)+P(X=3)+...+P(X=20)=1-P(X=0)-P(X=1)
P(supérieur ou égal à 2)=1-P(X=0)-P(X=1)
P(supérieur ou égal à 2)=1-0,358-0,377 (On l'a déjà calculé)
P(supérieur ou égal à 2)=0,265

Si l'Enutrof veut au moins un cadeau :
P(supérieur ou égal à 1)= 1-P(X=0) = 1-0,95^20 = 0,642
Donc il a 64,2% de chances d'obtenir au moins un cadeau au bout de 20 combats!


[image]Une image du jeu. Pour ceux qui doutent que ce carnet ait un rapport avec WAKFU.



Espérance et Variance

Ce ne sont que des probabilités et l'Enutrof aimerait bien savoir également combien de cadeaux il peut espérer avoir au bout de ses 20 combats.

Pour cela il y a la formule de l'espérance=moyenne pour une loi binomiale : Espérance=np
Donc au bout de n combats avec une proba p d'être béni par Enutrof, je peux espérer n fois p cadeaux.
Au bout de 20 combats, il est censé gagner en moyenne 20x0,05=1 cadeau.
Au bout de 100 combats, il est censé gagner en moyenne 100x0,05=5 cadeaux.

Seulement en pratique, il obtient rarement exactement 5 cadeaux au bout de 100 combats, il aimerait donc savoir à quel point le nombre de cadeaux qu'il peut obtenir s'éloigne de la moyenne. Pour cela il peut calculer la variance dans une loi binomiale : Variance=npq (Rappel : q=1-p)
Pour les 100 combats, la variance est de 100x0,05x0,95=4,75. Plus l'indice est grand, plus il a de chance que le nombre de cadeaux reçus au bout de ses combats soit loin de la moyenne. Une faible variance est souvent avantageuse (on est plus sûr d'avoir un résultat proche de l’espérance), mais une forte variance peut également être bien en fonction du cas dans lequel la loi binomiale est utilisée.




Si vous trouvez un passage insuffisamment clair ou détaillé, n'hésitez pas à le dire en commentaire. Je me ferais une joie de perfectionner ce carnet. J'ai volontairement caché certains termes comme "Univers" et "Variable Aléatoire" qui font peur, mais ce sont des choses simples que vous aurez l'occasion de découvrir par la suite.

Maintenant, si vous hésitez à monter un sort à cause d'un effet probabiliste ou que vous voulez jouer Ecaflip (c'est-à-dire toutes les classes du jeu), vous savez quoi faire. Dédicace à Tiris, qui part un sort abusay me fait gagner 400 kamas par heure quand ce n'est pas de l'engrais naturel.

Dieu Enutrof : Tiens Van, je te bénis ! Voici ta crotte.
Van Merwan : Merci mon dieu, je vais en faire un fossile inutile en votre hommage.
57 commentaires :
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Hetal84Hors ligne
11/10/2011 (10:30)
Bon , tu as fait un super article, ok, mais un peu, voir BEAUCOUP trop compliqué pour moi ! (J'ai abandonné j'ai pas tout lis :p) Comme a dit Eana, c'est des cours de terminal, voir plus, enfin je ne suis qu'en 4eme et je commence le théorème de Pythagore, un peu normal que je ne comprenne pas :p.

ps : Tu dessine trop bien *-*
Tiris (Game Designer)2Hors ligne
11/10/2011 (09:40)
Ahah super article ^^.

Et bien sûr, vive Arena :p.
Eana (Modérateur)888Hors ligne
11/10/2011 (04:17)
Oh mon dieu! Tu viens d'me sortir une partie de cours typique de Maths que j'avais en Terminale. Oh joie! Comme tu me fais rappeler comment les maths pouvaient me donner des maux de tête lancinants! \o/
HitArroW [Lëgend]68Hors ligne
11/10/2011 (03:29)
Merci Van pour ce carnet fort utile. Cela m'a donné envie de retourner en cours ^^ j'ai tout compris, et pourtant, je sort d'un after particulierement sympa, c'est dire.

Rien que pour ca, je met 10.

Amicalement,

Hit'

(ps : J'en connais un qui s'ennuie vachement chez lui non?)
saurus76Hors ligne
10/10/2011 (23:29)
Hha! Je te remercie, je viens de commencer un chapitre de proba et ça me donne une bonne longueur d'avance! :D
banqi66Hors ligne
10/10/2011 (23:09)
magnifique ! J'espère avoir tout compris, mais la plupart du temps on se casse pas la tête à calculer son pourcentage de drop, on casse du mob et on regarde après.
enfin je te met 10/10

PS : je viens de remarquer la faute (25%=75%=1) mon cerveau a corrigé tout seul ^^
Celeborn [Lëgend]666Hors ligne
10/10/2011 (23:06)
Bon, c'est vrai que je n'apprends pas grand chose, mais tu as mon Modo Seal of Approval rien que pour la dernière image. :'
Van Merwan811Hors ligne
10/10/2011 (23:04)
@otaku C'est corrigé, c'est comme cela quand on se relit sans penser à refaire les calculs après avoir changé les données.
Hada [Alpha Dominion]103Hors ligne
10/10/2011 (22:48)
Et moi qui planche sur mes maths. -_-
"Faut m'aider Vaaaaaaan !!!"
Sinon super carnet. :)
otaku366Hors ligne
10/10/2011 (22:47)
j'ai quasiment rien compris à part l'esperence et que tu t'est planté sur les 100 combats t'as écrit 75×0.05=4 ^^'
j'aurai bien mis 9 à cause de ça mais comme on est le 10/10 mettre 10 c'est plus jolie :)
Diablotus27Hors ligne
10/10/2011 (22:47)
Gogo loi de poisson, loi des grands nombres et tout et tout... Tu rajoutes du calcul matriciel et quelques suites et on a presque le programme que j ai eu il y a quelques années en classe prépa HEC... 10/10
Bouloucc (Éditeur)283Hors ligne
10/10/2011 (21:55)
Merci beaucoup c'est très intéressant.
La première partie correspond plutôt à un programme de seconde (ah souvenirs) et la loi binomiale à la fin du programme de première S. Enfin je crois car les programmes ont changé :p .
En tout cas très bon contenu bien expliqué , j'ai presque tout compris. 10/10
Fourrorbril58Hors ligne
10/10/2011 (21:50)
Alala que de souvenirs ! Très bien résumé ( avec ma prof c'était l'horreur 2 semaines dessus pour l'équivalent de ceci ! ) et très bin appliqué ! 10/10 !

Peut être qu'il faudrait mettre entre parenthèses Loi Binomiale ( Probabilités ) ou un truc du genre...
Van Merwan811Hors ligne
10/10/2011 (21:33)
C'est sympa, avec la date on a l'impression que ce carnet ait 10/10. :)
"Avant de continuer, essayez de comprendre ce qui va suivre." Que c'est drôle. :p
exclusif [Mythe]191Hors ligne
10/10/2011 (21:29)
Ahhh les proba ^^ Ca a jamais été mon truc, bien que c'est grâce à ça que j'ai eu la moyenne pour mon exam de math xD
Rhyban648Hors ligne
10/10/2011 (21:26)
Des maths que d'émotions, de souvenirs de ma math spé <3
Bon je rassure les moins matheux, vous pouvez dropper sans connaître votre probabilité de dropper ^^
Aliot62Hors ligne
10/10/2011 (21:07)
Perso', j'irais plutot privilégié la loi Normale, il suffit de np>5 et nq>5 et elle permet de comparer deux phénomènes (ou en l'occurence, 2probabilités), avec les IdC et IdF - ça simplifie énormément la vie je trouve, et ça permet de savoir si on a un bug ou si l'autre en face à juste énormément de chance quand il te stun 6fois d'affilé avec une flèche Destructrice sans cc >.<
Van Merwan811Hors ligne
10/10/2011 (21:03)
@Aliot
Au début je voulais aussi parler de la loi de Poisson, c'est plus simple pour les calculettes quand on veut calculer un probabilité avec n très grand et p très petit. (Indispensable quand on essaye de dropper un dofus dans DOFUS). Mais il faut d'abord que je vérifie si j'ai été assez clair pour la loi Bino.
Si je continue, je pense d'abord traiter les suites, omniprésentes dans les formules d'xp.

Et oui les gens, quand vous roxxez les maths, vous roxxez (un peu plus) en videogames.
C'était pareil pour le Triangle de Pascal, créé pour qu'un ami de Pascal roxx au casino.
Le plus important, c'est de pouvoir appliquer la formule de la Loi Bino (son petit nom), son Espérance et sa Variance. Le reste c'est pour vous expliquer pourquoi et comment, ce que vous pouvez zapper si vous voulez comprenez l'essentiel.
Aliot62Hors ligne
10/10/2011 (20:50)
Hum. J'adore. A quand l'approximation par une loi de Poisson/loi Normale (voire centrée-réduite)?

[/matheux inside + 10 :D]
Van Merwan811Hors ligne
10/10/2011 (20:49)
@rosio
Bah si tu l'avais lu, tu saurais qu'il te permet de calculer la probabilité finale de réussir un évenement lorsqu'on le tente plusieurs fois. Comme faire un coup critique au bout de n frappes, réussir trois fois un craft quand on a 30% de chance de réussir le craft, gagner un objet avec bénédiction d'Enutrof...
Et cela sert même en dehors du jeu.

@delta405
Je n'ai pas traité cette phrase dans ce sens, j'ai juste montré la probabilité d'obtenir k fois un cadeau. Mais pour savoir le nombre de combats n que tu dois faire pour espérer avoir 4 cadeaux (par exemple), tu peux utiliser la formule de l’espérance :

Espérance=np
4=nx0,05
4/0,05=n
80=n
Il faut faire 80 combats pour espérer avoir en moyenne 4 cadeaux.
Si jamais ce n'est pas pour un cadeau, remplace p par la probabilité de critique ou de craft par exemple.
Et si jamais tu veux la probabilité fixe d'avoir 4 cadeaux au bout de 80 combats, utilise la loi binomiale avec le n que tu viens de calculer.

@DeadMan
Tout à fait, une chose ne peut pas être égal à une chose différente. :p
Ce qui veut dire que tous ceux qui ont posté avant toi l'ont soit compris de la bonne façon par réflexe, soit ne l'ont pas lu (bouh), soit l'ont lu avec un cerveau en mode off, ou soit l'ont lu mais n'ont pas eu l'envie de reporter publiquement une faute aussi minime pour la compréhension du lecteur attentif et intelligent qui depuis la primaire peut reconnaître ce genre de coquille.
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